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过河问题

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一、问题描述

        在漆黑的夜里,甲乙丙丁共四位旅行者来到了一座狭窄而且没有护栏的桥边。如果不借助手电筒的话,大家是无论如何也不敢过桥的。不幸的是,四个人一共只带了一只手电筒,而桥窄得只够让两个人同时过。如果各自单独过桥的话,四人所需要的时间分别是1、2、5、8分钟;而如果两人同时过桥,所需要的时间就是走得比较慢的那个人单独行动时所需的时间。问题:如何设计一个方案,让这四人尽快过桥。

二、问题答案

        两人过桥后,需要把手电筒送回,最容易想到的是让最快的人担任来回送电筒。因此,第一种办法:先让甲乙过去(2分钟),甲回来(1分钟),甲丙过去(5分钟),甲回来(1分钟),甲丁再过去(8分钟),总共需要17分钟就可以让四个人都过去。

        而正确答案是第二种办法:先让甲乙过去(2分钟),甲回来(1分钟),丙丁过去(8分钟),乙回来(2分钟),甲乙再过去(2分钟),总共需要15分钟就可以让四个人都过去。这种方法的关键点,让两个最慢的人同时过桥。

三、扩展

把四人所需要的时间,改变一下分别,是1、4、5、8分钟。

        第一种方法:先甲乙过去(4分钟),甲回来(1分钟),甲丙过去(5分钟),甲回来(1分钟),甲丁再过去(8分钟),总共需要19分钟就可以让四个人都过去。

        第二种方法:先让甲乙过去(4分钟),甲回来(1分钟),丙丁过去(8分钟),乙回来(4分钟),甲乙再过去(4分钟),总共需要21分钟就可以让四个人都过去。

        这一次,两个最慢的人一起过去反而更慢了。

        这两次方案的差异:次快的人要不要也传递一次手电筒。

        假定四个人过河时间是T1,T2,T3,T4且T1<T2<T3<T4,如何选择过桥方案。

        第一种过河方法的总时间为:T2+T1+T3+T1+T4

        第二种过河方法的总时间为:T2+T1+T4+T2+T2

        二者之差为:(T1+T3)-2T2。

        结论: 如果(T1+T3)大于2T2,第二种方法优;如果(T1+T3)小于2T2,第一种方法优;如果(T1+T3)等于2T2,两种方法无差异。

四、问题推广

        现在我们把这个问题推广:如果有N(N大于等于4)个旅行者,假设他们有各自所需的过桥时间有快有慢,各不相同。在只有一只手电筒的情况下,要过上述的一条桥,怎样才能找到最快的过桥方案?

        现在我们假定,N个人单独过桥的时间分别是T1,T2,T3,……,Tn,且满足T1<T2<T3<…… <Tn。

经过分析,要满足最快过桥,合理的安排包括以下几点:

1)让最快的送手电筒的次数尽可能多些。

2)某些方案中,次快的也送电筒也可能会电筒。

3)让慢的过桥次数尽可能少些;

4)最快的两个先过桥,以保证此二人是能来回送电筒的人;

借助上述结论,来逐步分析多人情形。

        当N=5人时,第一次先T1、T2两人过桥,T1把电筒送回,没过桥的又变成了T1、T3、T4、T5的4人情形。这个时候,需要比较T1+T4与2T3的大小吗?

        第一种方案,还是选择T1来回送电筒,过桥总时间:为T2+T3+T1+T4+T1+T5

        第二种方案,让慢的一起走,但因为送回电筒的不是T3,而是更快一点的T2,总过桥时间:T2+T5+T2+T3+T1+T2。

        两种方案两者之差为T1+T4-2T2,这里与T3没有关系。

        当N=6人时,第一次先T1、T2两人过桥,T1把电筒送回,没过桥的又变成了T1、T3、T4、T5、T6 的5人情形。按照刚才的分析,要比较T1+T5-2T2的大小。

        以此类推,两种方案的差异,只与最快的人、次快的人和次慢的人的单独过桥时间有关,而与其他人的快慢无关。